Agrégation de mathématiques

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• Simplicité de SO3(R)

  Thèmes abordés :
  Groupes, sous-groupes, sous-groupes distingués, connexité par arc, rotation de l'espace et théorème des valeurs intermédiaires.
  
  Leçons concernées :
  117 : Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3.
  301 : Exercices sur les groupes.
  320 : Exercices sur les isométries vectorielles dans les espaces euclidiens en dimensions 2 et 3.
  340 : Exercices faisant intervenir des groupes en géométrie.
  
  

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• Simplicité de An, pour n ≥ 5

  Thèmes abordés :
  Permutation, cycles, transposition, conjugaison, groupes symétriques, alternés, distingués, simplicité.
  
  Leçons concernées :
  102 : Permutations d'un ensemble fini, groupe symétrique. Applications.
  301 : Exercices sur les groupes.
  
  

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• Pivot de Gauss et décomposition LU

  Thèmes abordés :
  Matrices, déterminant, réduction de matrices, algorithme matriciel.
  
  Leçons concernées :
  114 : Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d'une matrice. Applications.
  113 : Déterminants. Applications.
  150 : Diverses factorisations de matrices.
  155 : Systèmes linéaires.
  160 : Algorithme du pivot de Gauss. Applications.
  312 : Exercices illustrant l'emploi de matrices inversibles dans des domaines variés.
  319 : Exercices faisant intervenir des algorithmes de calcul matriciel.
  
  

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• Théorème de Joachimsthal

  Thèmes abordés :
  Polynômes, relations entre coefficients et racines, courbes paramétrées.
  
  Leçons concernées :
  143 : Polynômes à une indéterminée à coefficients réels ou complexes.
  146 : Coniques.
  147 : Courbes planes paramétrées.
  213 : Exponentielle complexe ; fonctions trigonométriques, nombre π.
  308 : Exercices faisant intervenir les relations entre coefficients et racines d'un polynôme.
  309 : Exercices faisant intervenir des polynômes et fractions rationnelles sur R ou C.
  323 : Exercices de géométrie résolus à l'aide des nombres complexes.
  332 : Exercices sur les cercles.
  334 : Exercices sur les coniques.
  335 : Exercices sur les courbes planes.
  
  

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• Théorème de Kakutani

  Thèmes abordés :
  Compacité, convexité, endomorphisme, suite, point fixe.
  
  Leçons concernées :
  206 : Parties compactes de Rⁿ. Fonctions continues sur une telle partie. Exemples et applications.
  
  

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• Algorithme de Faddeev

  Thèmes abordés :
  Algorithme, matrices, déterminants, polynôme caractéristique.
  
  Leçons concernées :
  113 : Déterminants. Applications.
  143 : Polynômes à une indéterminée à coefficients réels ou complexes.
  309 : Exercices faisant intervenir des polynômes et fractions rationnelles sur R ou C.
  310 : Exercices d'algèbre linéaire faisant intervenir les polynômes.
  319 : Exercices faisant intervenir des algorithmes de calcul matriciel.
  
  

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• Une caractérisation de la log-convexité et fonction Γ

  Thèmes abordés :
  Convexité, intégrale à paramètre, intégrale généralisée.
  
  Leçons concernées :
  217 : Fonctions convexes d'une variable réelle. Applications.
  223 : Intégrale d'une fonction dépendant d'un paramètre. Propriétés, exemples et applications.
  427 : Exemples d'étude de fonctions définies par une intégrale.
  
  

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• Jauge dans un espace vectoriel normé

  Thèmes abordés :
  Espace vectoriel normé, norme, convexe, compact.
  
  Leçons concernées :
  204 : Espaces vectoriels normés de dimension finie, normes usuelles, équivalence des normes.
  206 : Parties compactes de Rⁿ. Fonctions continues sur une telle partie. Exemples et applications.
  
  

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• Raréfaction des nombres premiers.

  Thèmes abordés :
  Série à termes positifs divergente, nombres premiers, indicatrice d'Euler, division euclidienne.
  
  Leçons concernées :
  104 : Nombres premiers.
  157 : Arithmétique dans Z.
  202 : Séries à termes réels positifs. Applications.
  302 : Exercices faisant intervenir les notions de congruence et de divisibilité dans Z.
  305 : Exercices faisant intervenir les nombres premiers.
  402 : Exemples d'étude de suites ou de séries divergentes.
  
  

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• Simulation de vecteurs gaussiens

  Thèmes abordés :
  Probabilités, covariance et indépendance, densité, simulation, théorème de changement de variable intégrale, matrice symétrique semi-définie positive et théorème spectral.
  
  Leçons concernées :
  113 : Déterminants. Applications.
  120 : Endomorphismes symétriques d'un espace vectoriel euclidien de dimension finie. Applications.
  151 : Réduction d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
  230 : Probabilité conditionnelle et indépendance. Variables aléatoires indépendantes. Variance, covariance.
  232 : Variables aléatoires possédant une densité. Exemples.
  249 : Loi normale en probabilités.
  314 : Exercices illustrant l'utilisation de déterminants.
  321 : Exercices illustrant l'utilité de la réduction des matrices symétriques réelles dans des domaines variés.
  434 : Exemples d'utilisation de changement de variable(s) en analyse.
  437 : Exercices faisant intervenir des variables aléatoires.
  
  

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• Un calcul de ζ (2)

  Thèmes abordés :
  Trigonométrie, polynôme, série numérique, relations coefficients-racines.
  
  Leçons concernées :
  143 : Polynômes à une indéterminée à coefficients réels ou complexes.
  202 : Séries à termes réels positifs. Applications.
  308 : Exercices faisant intervenir les relations entre coefficients et racines d'un polynôme.
  347 : Exercices faisant intervenir la trigonométrie.
  405 : Exemples de calcul exact de la somme d'une série numérique.
  
  

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• Description de (Z/pZ)*

  Thèmes abordés :
  Arithmétique, groupes cycliques, nombres premiers, divisibilité et indicatrice d'Euler, corps Z/pZ.
  
  Leçons concernées :
  101 : Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples.
  103 : Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications.
  104 : Nombres premiers.
  157 : Arithmétique dans Z.
  301 : Exercices sur les groupes.
  302 : Exercices faisant intervenir les notions de congruence et de divisibilité dans Z.
  305 : Exercices faisant intervenir les nombres premiers.